Các phương pháp chứng minh 2 đoạn thẳng bằng nhau từ đơn giản đến phức tạp1. Cách chứng minh theo kiến thức Lớp 6, 7* Phương pháp 1: Dựa vào số đo của các đoạn thẳng=> Cách làm:- Đưa về bài toán chứng minh hai đoạn thẳng có cùng số đo- Khi trên hình có đoạn thẳng thứ ba bằng hai đoạn còn lại: Đưa về bài toán chứng minh hai đoạn thẳng cùng bằng một đoạn thẳng thứ ba.- Khi bài toán đã cho một điểm nằm giữa hai điểm còn lại: Đưa về bài toán chứng minh hai đoạn thẳng đó bằng tổng/ hiệu của hai đoạn thẳng bằng nhau từng đôi một.* Phương pháp 2: Đưa về bài toán chứng minh hai đoạn thẳng đó là hai cạnh tương ứng của hai tam giác bằng nhau.* Phương pháp 3: Vận dụng các tính chất của tam giác cân, tam giác đều=> Cách làm: Đưa về bài toán chứng minh hai đoạn thẳng đó là cạnh bên của các tam giác (tam giác cân hoặc tam giác đều).* Phương pháp 4: Đưa về bài toán chứng minh hai đoạn thẳng tạo bởi trung điểm của đoạn cho trước.
2. Cách chứng minh theo kiến thức Lớp 8* Phương pháp 1: Áp dụng Định lí Ta-lét – Tam giác đồng dạng* Phương pháp 2: Vận dụng tính chất của đường trung bình trong tam giác; tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông.* Phương pháp 3: Vận dụng tính chất về cạnh và đường chéo của các tứ giác đặc biệt:- Hai đường chéo của hình vuông, hình thang cân, hình chữ nhật- Hai cạnh đối của hình thoi, hình vuông, hình chữ nhật, hình bình hành=> Cách làm: Đưa về bài toán chứng minh hai đoạn thẳng đó là các đường chéo của hình vuông, thang cân hay hình chữ nhật; cạnh đối của hình thoi, hình bình hành, hình chữ nhật,…3. Cách chứng minh theo kiến thức lớp 9Phương pháp: Vận dụng các định lí- Hai dây cách đều tâm của một đường tròn- Dây cung và khoảng cách đến tâm:+ Trong một đường tròn: Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm. Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau.+ Trong hai dây của một đường tròn: Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn. Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn.- Đường nối tâm của hai đường tròn cắt nhau.- Hai tiếp tuyến cùng xuất phát từ một điểm đến một đường tròn.
Một số ví dụ cụ thể cho bài toán chứng minh 2 đoạn thẳng bằng nhauBài tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, tia phân giác của góc B cắt cạnh AC tại điểm D. Trên cạnh BC, lấy điểm E sao cho: BE = AB. Chứng minh rằng: AD = DE.Hướng dẫn giải:
Xét tam giác ABD và tam giác EBD, có:BD là cạnh chungBE = AB (đề bài đã cho)góc ABD = góc DBE (vì BD là tia phân giác của góc B)=> Tam giác ABD = tam giác EBD (c.g.c)=> AD = DE (điều phải chứng minh).Bài tập 2: Cho tam giác ABC, điểm M là trung điểm của BC. Trên tia đối của tia MA, lấy điểm N sao cho MN = MA. Hãy chứng minh:a) AC = BNb) AB = NCHướng dẫn giải:
a) Chứng minh: AC = BNXét tam giác ACM và tam giác NBM, có:MB = MC (M là trung điểm của BC)góc AMC = góc NMB (vì đối đỉnh)MA = MN (đề bài đã cho)=> Tam giác ACM = tam giác NBM (c.g.c)=> AC = BN (điều phải chứng minh).b) Chứng minh: AB = NCXét tam giác ABM và tam giác NCM, có:MB = MC (M là trung điểm của BC)góc AMB = góc NMC (đối đỉnh)MA = MN (đề bài đã cho)=> Tam giác ABM = tam giác NCM (c.g.c)=> AB = NC (điều phải chứng minh).