Chỉnh hợp hay tổ hợp đều là những kiến thức bắt buộc của môn Đại số. Khi đưa ra những khái niệm này chắc chắn các em học sinh sẽ bối rối, bởi cách sử dụng cũng như mức độ phức tạp của nó khi làm các bài tập về hoán vị chỉnh hợp tổ hợp, bài tập tổ hợp so với các bài tập bất đẳng thức cosi có lời giải, các dạng nguyên hàm đặc biệt, các dạng bài tập vận dụng hằng đẳng thức, bài tập đạo hàm, bài tập phép vị tự,… Tuy nhiên, các em không nên để hổng kiến thức này, bởi nó rất quan trọng, sẽ giúp cho các em cách học toán hiệu quả hơn giống như tiền đề để các em học cao hơn ở Đại học, đặc biệt áp dụng cho môn học “Xác suất thống kê” để giải các bài tập tổ hợp xác xuất.
1. Chỉnh hợp
Trước khi sử dụng được, các em phải có cái nhìn chi tiết và thật sự hiểu về định nghĩa này để tránh việc nhầm lẫn.
1.1. Định nghĩa của chỉnh hợp
Chỉnh hợp có thể hiểu đơn giản như này:
Trong toán học, chỉnh hợp như một cách chọn những phần tử từ những nhóm lớn hơn, và nhóm này có phân biệt thứ tự. (Lưu ý điều này ngược lại với Tổ hợp, tổ hợp sẽ không phân biệt thứ tự)
Theo định nghĩa mà các em được học:
Ví dụ có một tập hợp A gồm có n phần tử với điều kiện 1≤ k ≤ n
Khi lấy k phần tử khác nhau từ n phần tử của tập hợp A, sau đó sắp xếp chúng theo cùng 1 thứ tự nào đó, kết quả thu được gọi là chỉnh hợp (chỉnh hợp chập k của n phần tử đã cho).
1.2. Công thức của chỉnh hợp
Về công thức của chỉnh hợp, các em có thể hình dung như sau:
Akn = n! / (n−k)! = n.(n−1).(n−2).(n−3)… / (n−k ).(n – k – 1).(n – k – 2)….
Trong đó:
Akn là số của các chỉnh hợp chập k của n phần tử (1≤ k ≤ n)
Trong trường hợp k=n, thì Ann = Pn = n! (Nói một cách dễ hiểu hơn, đó chính là 1 hoán vị của n phần tử cũng chính là 1 chỉnh hợp hợp chập n của n phần tử đó)
Ta có quy ước: 0! = 1
1.3. Ví dụ
Nếu nói lý thuyết không, các em sẽ tương đối khó khăn trong việc hình dung ra. Vì vậy, các em hãy theo dõi từ ví dụ thực tế sau đây nhé.
Ví dụ 1: Cho một tập hợp P= {a,b,c}
Tính chỉnh hợp chập 2 của 3 phần tử của tập hợp P?
Giải:
Chỉnh hợp chập 2 của 3 phần tử tập hợp P là:
(a,b), (a,c),
(b,a), (b,c),
(c,a), (c,b).
Chỉnh hợp tính được là P23 = 6
Ví dụ 2: Trong một lớp học, có một nhóm gồm 6 bạn học sinh. Mỗi ngày 3 trong số 6 bạn đó sẽ được phân công đi trực nhật (1 bạn lau bảng, 1 bạn quét nhà và 1 bạn sắp xếp bàn ghế). Hãy chỉ ra cách phân công sao cho phù hợp.
Giải:
Chúng ta tiếp tục dùng phép chỉnh hợp ở đây:
Theo công thức, ta có cách phân công là: A63= 6!(63)! = 120
Vậy có 120 cách để phân công.
Thông qua 2 ví dụ đã được nêu bên trên, hy vọng các em đã có một cái nhìn tổng quát về cách dùng cũng như công thức áp dụng rồi nhé!
>> Xem thêm: Bài tập hình học không gian 11
2. Tổ hợp
Tương tự như chỉnh hợp, cũng chia ra làm 2 mục tương ứng cho các em dễ theo dõi:
2.1. Định nghĩa của tổ hợp
Giống như định nghĩa bên trên, tổ hợp cũng là việc chọn phần tử từ nhóm lớn và những phần tử này không phân biệt thứ tự. Và trong một vài trường hợp nhỏ hơn, ta còn có thể đếm được số tổ hợp.
Theo định nghĩa, ta có: Tập A có n phần tử ( n ≥ 0, k ≥ 0).
Mỗi tập con gồm k phần tử của tập A được gọi là 1 tổ hợp chập k của n phần tử đã cho.
Lưu ý: Số tổ hợp chập k của n phần tử bằng với hệ số nhị thức.
2.2. Công thức của tổ hợp
Từ đó, ta suy ra công thức của tổ hợp như sau:
Ckn =n! / k!.(n−k)!
Trong đó:
Ckn: Là số các tổ hợp chập k của n phần tử, thỏa mãn yêu cầu (0 ≤ k ≤ n )
Số k ở trong công thức trên cũng cần thỏa mãn điều kiện (1 ≤ k ≤ n ).
Tập hợp không có phần tử nào là tập rỗng, vì vậy ta quy ước gọi tổ hợp chập 0 của n phần tử là tập rỗng.
Ta có quy ước: C0n = 1
Thêm vào đó, tổ hợp còn có 2 tính chất mà các em cần ghi nhớ, đó là:
+ Tính chất 1: Ckn = C(n-k)/n
+ Tính chất 2: Ckn = C(k-1)/(n-1) + Ck/(n-1)
2.3. Ví dụ
Vẫn tiếp tục với bài toán học đường. Một lớp gồm có 30 em học sinh nam và 15 em học sinh nữ (tổng 45 em). Trong buổi họp lớp cần đề cử ra 5 em vào ban cán sự lớp. Hỏi số cách chọn:
a. Nếu số cán sự lớp không phân biệt nam và nữ
b. Cần có 2 nam và 3 nữ
Giải:
a. Trong trường hợp không phân biệt, số cách chọn là C45/5= 1221759
b. Trường hợp cần 2 nam ta có: C30/2 và 3 nữ ta có: C15/3. Vậy cách chọn ra trong trường hợp này là C30/2.C15/3
>> Xem thêm: Cách sử dụng máy tính Casio fx 570ms
3. Sự khác nhau giữa chỉnh hợp và tổ hợp
Trên đây là cơ bản lý thuyết của chỉnh hợp và tổ hợp. Tuy nhiên trong quá trình học, rất nhiều học sinh còn nhầm lẫn về 2 khái niệm này, bởi chúng cũng tương đối khó nhớ và na ná giống nhau. Vì thế, các em học sinh hãy đọc kỹ mục này để có thể dễ dàng hơn trong việc phân biệt 2 khái niệm này nhé!
+ Với chỉnh hợp, đó là việc lấy ra một số phần tử và sắp xếp vị trí của chúng.
Ví dụ, ta có 3 chữ số cho trước là 1,2 và 3. Sau đó chúng ta sắp xếp 3 chữ số đó để tạo thành 1 số bao gồm 3 chữ số, từ đó ta có:
Các số: 123, 132, 213, 231, 312, 321. Đây là chỉnh hợp.
+ Với tổ hợp, đó là việc lấy ra một tập hợp con và không sắp xếp vị trí của chúng.
Vẫn nói về ví dụ trên, lấy ra 3 phần tử là các số 1, 2 và 3, sau đó đặt các số vào những vị trí khác nhau trong tập con, ta sẽ có:
A = {1;2;3}; B = {1;3;2}; C = {2;1;3}; D = {2;3;1}; E = {3;1;2}; F = {3;2;1}
Từ đó nhìn thấy, chúng ta có 6 tập con, nhưng 6 tập này đều có giá trị giống nhau là 1,2 và 3. Đồng nghĩa với việc 6 tập con này là một, và đó là tổ hợp.
Trên đây là tất cả các lý thuyết, các công thức cũng như cách sử dụng chi tiết của chỉnh hợp và tổ hợp.
Đây là mảng lý thuyết rất dễ gây nhầm lẫn, đặc biệt các em học sinh cần phải để ý thật kỹ. Những kiến thức này, các em sẽ vẫn tiếp tục được sử dụng khi lên các bậc Đại học hay Cao đẳng. Việc hiểu đúng sẽ giúp ích cho các em rất nhiều khi học lên bậc cao hơn.
Và cuối cùng, hy vọng những thông tin mà timviec365.vn đưa ra về chỉnh hợp và tổ hợp có thể giúp ích được các em trong quá trình học tập.