1) Công thức W=mc2
Khi hạt chuyển động dưới tác dụng của ngoại lực, năng lượng của nó thay đổi. Độ biến thiên năng lượng của chất điểm bằng công của ngoại lực tác dụng lên chất điểm đó: dW=dA (5.31)
Để đơn giản ta xét trường hợp ngoại lực ( overrightarrow{F} ) cùng hướng với độ chuyển dời ( dvec{s} ). Khi đó: ( dW=dA=overrightarrow{F}dvec{s}=Fds ) (5.32)
Thay ( F=frac{dp}{dt} ) vào (5.32), trong đó p xác định theo (5.30), ta có:
( dW=frac{d}{dt}left( frac{{{m}_{0}}v}{sqrt{1-frac{{{v}^{2}}}{{{v}^{2}}}}} right)ds=left[ frac{{{m}_{0}}}{sqrt{1-frac{{{v}^{2}}}{{{v}^{2}}}}}frac{dv}{dt}+frac{{{m}_{0}}{{v}^{2}}}{{{c}^{2}}{{left( 1-frac{{{v}^{2}}}{{{c}^{2}}} right)}^{frac{3}{2}}}}frac{dv}{dt} right]ds )
Mặt khác: ( frac{dv}{dt}ds=dvfrac{ds}{dt}=vdv )
Do đó: (dW=frac{{{m}_{0}}vdv}{sqrt{1-frac{{{v}^{2}}}{{{c}^{2}}}}}left[ 1+frac{{{v}^{2}}}{{{c}^{2}}left( 1-frac{{{v}^{2}}}{{{c}^{2}}} right)} right]=frac{{{m}_{0}}vdv}{{{left( 1-frac{{{v}^{2}}}{{{c}^{2}}} right)}^{3/2}}}) (5.33)
Từ công thức ( m=frac{{{m}_{0}}}{sqrt{1-frac{{{v}^{2}}}{{{c}^{2}}}}} ) suy ra: ( dm=frac{{{m}_{0}}}{{{c}^{2}}{{left( 1-frac{{{v}^{2}}}{{{c}^{2}}} right)}^{3/2}}}vdv ) (5.34)
Kết hợp hai công thức (5.33) và (5.34) ta có: (dW={{c}^{2}}dm) (5.35)
Tích phân biểu thức (5.35), ta được: ( W=m{{c}^{2}}+C ) (5.36)
Trong đó C là hằng số. Từ điều kiện W = 0 khi m = 0 ta có C = 0.
Vậy: ( W=m{{c}^{2}} ) (5.37)
Công thức này xác định mối liên hệ giữa khối lượng tương đối tính và năng lượng toàn phần của vật, thường gọi là công thức Einstein.
2) Năng lượng tĩnh và động năng
Năng lượng toàn phần W của chất điểm bằng tổng số của năng lượng tĩnh W0 khi nó đứng yên và động năng Wđ khi nó chuyển động: W = W0 + Wđ (5.38)
Năng lượng tĩnh của chất điểm đứng yến là: W0 = m0c2 (5.39)
Năng lượng tĩnh là nội năng của hạt, không liên quan đến sự chuyển động của nó. Đối với một vật phức tạp gồm nhiều hạt thành phần thì năng lượng tĩnh của vật gồm năng lượng tĩnh của các hạt thành phần, động năng chuyển động của các hạt thành phần đối với khối tâm của vật và năng lượng tương tác giữa chúng. Thế năng của vật trong trường lực ngoài không tham gia vào năng lượng tĩnh cũng như năng lượng toàn phần của vật. Cần lưu ý rằng thuật ngữ “năng lượng toàn phần” trong cơ học tương đối tính có ý nghĩa khác so với trong cơ học cổ điển. Trong cơ học Newton, năng lượng toàn phần là tổng động năng và thế năng của hạt còn trong cơ học tương đối, năng lượng toàn phần là tổng năng lượng tĩnh và động năng của hạt.
Động năng: ( {{W}_{text{}}}=W-{{W}_{0}}=m{{c}^{2}}-{{m}_{0}}{{c}^{2}}={{m}_{0}}{{c}^{2}}left( frac{1}{sqrt{1-frac{{{v}^{2}}}{{{c}^{2}}}}}-1 right) ) (5.40)
Trong trường hợp cổ điển, khi v << c, thì ( frac{1}{sqrt{1-frac{{{v}^{2}}}{{{c}^{2}}}}}approx frac{1}{1-frac{1}{2}frac{{{v}^{2}}}{{{c}^{2}}}} ).
Do đó: ( {{W}_{text{}}}={{m}_{0}}{{c}^{2}}left( frac{1}{sqrt{1-frac{{{v}^{2}}}{{{c}^{2}}}}}-1 right)approx {{m}_{0}}{{c}^{2}}.frac{1}{2}frac{{{v}^{2}}}{{{c}^{2}}}=frac{1}{2}{{m}_{0}}{{v}^{2}} ) (5.41)
Công thức này trùng với động năng trong cơ học cổ điển.
3) Liên hệ giữa năng lượng và động lượng
Viết lại công thức Einstein như sau:
( W=m{{c}^{2}}=frac{{{m}_{0}}{{c}^{2}}}{sqrt{1-frac{{{v}^{2}}}{{{c}^{2}}}}}left( 1-frac{{{v}^{2}}}{{{c}^{2}}} right) ) hay ( {{W}^{2}}=m_{0}^{2}{{c}^{4}} )
( Rightarrow {{W}^{2}}=m_{0}^{2}{{c}^{4}}+frac{{{W}^{2}}{{v}^{2}}}{{{c}^{2}}} ) ( Rightarrow {{W}^{2}}=m_{0}^{2}{{c}^{4}}+frac{{{m}^{2}}{{c}^{4}}{{v}^{2}}}{{{c}^{2}}}=m_{0}^{2}{{c}^{4}}+{{p}^{2}}{{c}^{2}} ) (5.42)
Trong đó đã thay ( mv=p )
Vậy: ( W=csqrt{{{p}^{2}}+m_{0}^{2}{{c}^{2}}} ) (5.43) là công thức liên hệ giữa năng lượng và động lượng tương đối.
Trong trường hợp phi tương đối khi (p<<{{m}_{0}}c), (5.43) có dạng:
( W={{m}_{0}}{{c}^{2}}sqrt{1+{{left( frac{p}{{{m}_{0}}c} right)}^{2}}}approx {{m}_{0}}{{c}^{2}}left[ 1+frac{1}{2}{{left( frac{p}{{{m}_{0}}c} right)}^{2}} right]={{m}_{0}}{{c}^{2}}+frac{{{p}^{2}}}{2{{m}_{0}}} ) (5.44)
Như vậy, động năng trong cơ học cổ điển liên hệ với động lượng như sau: ({{W}_{text{}}}=frac{{{p}^{2}}}{2{{m}_{0}}}) (5.45)
Công thức (5.45) có thể suy ra từ công thức (5.41) khi thay ( v=frac{p}{{{m}_{0}}} ).